(۶-۲۱)
بهره کنترل کننده استاتیکی از رابطه زیر بدست می آید:
(۶-۲۲)

• • اثبات

از اصل ۶-۱ به این نتیجه رسیدیم که سیستم (۶-۱) پایدار خواهد بود در صورتیکه وجود داشته باشند  و  بطوریکه نامعادلات ماتریسی
(۶-۲۳)
به ازای  برقرار باشند.
اکنون جهت اثبات تئوری ۶-۱ به بیان تعمیم یافته تئوری ۱ از ]۱۵[ برای سیستم های فازی و اثبات آن میپردازیم.

تئوری۱ از ]۱۵[ بیان میدارد که سیستم (۶-۱) پایدار است، اگر و تنها اگر وجود داشته باشند  ،  و  بطوریکه نامعادلات ماتریسی
(۶-۲۴)
به ازای  بر قرار باشند.
بنا بر مطالب ارائه شده در ]۱۵[ اثبات مسئله فوق به این ترتیب است که ابتدا فرض مینماییم که  و  وجود داشته باشند به گونه ای که نامعادله فوق را به ازای برخی مقادیر  برآورده نمایند. اکنون اقدام به کم نمودن طرف چپ نامعادله (۶-۲۳) از طرف چپ نامعادله (۶-۲۴) مینماییم. خواهیم داشت:
(۶-۲۵)
بنابراین چنانچه ثابت نماییم که ماتریس فوق نیمه معین مثبت میباشد در حقیقت درستی رابطه(۶-۲۳) را توسط رابطه (۶-۲۴) تأیید نموده ایم. برای تمامی  داریم:
(۶-۲۶)
اکنون داریم:
(۶-۲۷)
که از آن میتوان به این نتیجه رسید که ماتریس رابطه (۶-۲۵) نیمه معین مثبت است. این مسئله به این معناست که جهت بررسی پایداری سیستم (۶-۱) میتوان به جای نامعادلات (۶-۲۳)، نامعادلات (۶-۲۴) را مورد بررسی قرار داد و یا آنرا جایگزین نمود. اکنون با جایگزینی ماتریس رابطه (۶-۲۴) در ماتریس رابطه (۶-۷) و نیز جایگذاری ترم های موجود در آن نامعادلات تئوری۶-۱ بدست می آیند و اثبات تکمیل میگردد.
تئوری۶-۱ بیان میدارد که به منظور یافتن یک قانون کنترلی فیدبک استاتیک خروجی که تعقیب فازی  را تضمین مینماید، نیازمند یافتن یک پاسخ امکان پذیر برای نامعادلات ماتریسی (۶-۲۰)- (۶-۱۸) هستیم. توجه نمایید که نامعادلات ماتریسی (۶-۲۰)- (۶-۱۸) نسبت به تمامی متغیر ها به جز  خطی میباشند. اکنون اقدام به ارائه یک الگوریتم خطی سازی مکمل مخروطی^[۴۹] جهت یافتن یک جواب امکان پذیر میپردازیم. توجه نمایید که متغیر اسکالر  و معکوس آن هر دو در (۶-۲۰)- (۶-۱۸) ظاهر میشوند. در ابتدا بردار زیر از اسکالر های مثبت را تعریف میکنیم:

در گام بعد بردار کمکی زیر را مشابه بردار بالا با اسکالر های مثبت جدید تعریف مینماییم:

به عنوان مثال چنانچه تعداد قوانین برابر ۲ باشد خواهیم داشت:

اکنون نامعادلات ماتریسی (۶-۱۰)- (۶-۸) را در نظر میگیریم. در این نامعادلات ابتدا یک مقدار اولیه برای  تعیین مینماییم. سپس ترم های  را با ترم جدید  جایگزین میکنیم. با این عمل ماتریس های  ،  و  را به ترتیب به جای ماتریس های  ،  و  بدست می آوریم. اکنون الگوریتم زیر را جهت یافتن یک پاسخ امکان پذیر برای (۶-۲۰)- (۶-۱۸) بیان میکنیم.

• • الگوریتم ۶-۱

1. 1. یک مقدار اولیه  برای تعیین نمایید. یک پاسخ امکان پذیر  و  را برای مسئله LMI زیر بیابید:

(۶-۲۸)
چنانچه پاسخی یافت نشد، مسئله پاسخ امکان پذیری ندارد و باید از الگوریتم خارج شویم. در غیر اینصورت،  قرار میدهیم.

1. 1. و  قرار دهید و  و  را بیابید که مسئله مقدار ویژه LMI زیر را حل نماید:

(۶-۲۸)

1. 1. یک معیار جهت توقف بکار بگیرید، چنانچه شرایط برآورده گردید از الگوریتم خارج شوید، در غیر اینصورت  قرار دهید و به گام ۲ بروید.

در ]۱۸[ بیان گردیده است که دنباله  از پایین محدود بوده و رو به کاهش میباشد و به کمینه مقدار خود همگرا میگردد و برای حالت کمینه داریم  یا  ،پس بکار گرفتن الگوریتم فوق موجب یافتن یک جواب امکان پذیر برای نامعادلات ماتریسی (۶-۲۰)- (۶-۱۸) میگردد و بنابراین بر طبق تئوری ۶-۱ کنترل کننده فازی فیدبک استاتیک خروجی مقاوم بدست می آید.
از آنجاییکه هدف یافتن  حداقل میباشد به این صورت عمل میکنیم که یک مقدار اولیه برای  تعیین مینماییم و الگوریتم ۶-۱ را اجرا میکنیم، اگر به ازای آن مقدار، الگوریتم منجر به یافتن یک جواب امکان پذیر گردید، اقدام به کاهش مقدار  مینماییم، به عنوان مثال مقدار آن را به نصف کاهش میدهیم و مجدد الگوریتم را اجرا مینماییم. این کار را تا جایی انجام میدهیم که الگوریتم منجر به جواب نگردد، و به این ترتیب مقدار کمینه  را خواهیم یافت.
اکنون کارآمدی کنترل کننده طراحی شده را با اعمال آن به یک سیستم در مثال ۶-۱ نشان میدهیم.

• • مثال ۶-۱

سیستم غیرخطی دارای تأخیر زمانی و عدم قطعیت زیر را در نظر بگیرید: