‏۲‑۸

‏۲‑۹

‏۲‑۱۰

‏۲‑۱۱

در روابط بالا، متغیر باینری برای نمایش وضعیت خط است. اگر رابطه برقرار باشد، خط در مدار است و در غیر این‌صورت از مدار خارج شده است. تعداد خطوط مجاز برای خروج که وابسته به ابعاد شبکه می‌تواند متفاوت باشد را مشخص می‌کند. نیز یک عدد مثبت و به اندازه کافی بزرگ است.

رابطه ۲-۸ نشان می‌دهد که باید حد حرارتی خطوط رعایت شود. در این رابطه اگر رابطه برقرار باشد، خط در مدار است و باید قید حرارتی آن رعایت شود و اگر رابطه برقرار باشد، خط به واسطه کلیدزنی از شبکه خارج شده و توان عبوری از آن باید صفر باشد. روابط ۲-۹ و ۲-۱۰ اصلاح شده قانون عبور توان از خطوط شبکه برای در نظر گرفتن TS است. اگر فرض شود که خط در مدار است ()، بنابراین عبارت برابر با صفر خواهد بود و دو رابطه ۲-۹ و ۲-۱۰ بیان می‌کنند که توان عبوری از خط باید برابر با حاصل‌ضرب تفاضل زاویه ولتاژ ابتدا و انتهای خط و سوسپتانس آن باشد. برای مثال، خط که از شین خارج و به شین وارد می‌‌شود را در نظر بگیرید. بنابراین درایه برابر با ۱ و درایه برابر با ۱- خواهد بود و مقدار عبارت اول برای خط برابر با خواهد بود و این دو رابطه برای خط به صورت خواهد بود. اگر خط از مدار خارج شده باشد، بنابراین مقدار توان عبوری از آن () بر اساس رابطه ۲-۸ صفر خواهد بود. با در نظر گرفتن این فرض که خط از مدار خارج شده باشد، روابط ۲-۹ و ۲-۱۰ به صورت و در می‌آید. با در نظر گرفتن به عنوان یک عدد مثبت بزرگ (بزرگتر از ) زوایای و اجازه خواهند داشت که آزادانه، بدون این که قید توان عبوری از خط بر آن‌ها تحمیل شود، بین و تغییر کنند. رابطه ۲-۱۱ نیز حداکثر تعداد خطوط مجاز برای کلیدزنی را نشان می‌دهد.

تبدیل مسأله ECB به مسأله MILP
HHI یک تابع درجه دو از متغیرهای توان تولیدی ژنراتورها است. برای اینکه مسأله به صورت MILPباشد، کافی است تابع هدف به صورت تکه‌ای خطی تقریب زده شود. شکل ۲-۲ نحوه تقریب تابع توان دوم متغیر مقدار مجموع تولید واحدهای مربوط به هر مالک را با تکه‌های خطی بر حسب مقدار تولید نشان می‌دهد. برای هر تکه، یک متغیر باینری و یک متغیر پیوسته در نظر گرفته می­ شود. و ، متغیر باینری و پیوسته برای مجموع توان تولیدی واحدهای مالک ام در تکه ام است. ، و پارامترهای مقدار توان در ابتدای تکه خطی ام، طول و شیب تکه ام می­باشند.
برای مثال فرض کنید که مقدار مجموع توان تولیدی واحدهای مالک ام، برابر با باشدکه بر اساس خطی‌سازی صورت گرفته، معادل تولید در تکه ام باشد. پس مقدار تقریب زده شده برای به صورت قابل محاسبه است. با توجه به اینکه در عمل مقدار مجموع توان تولیدی توسط واحدهای مالک ام فقط در یکی از تکه‌ها قرار خواهد گرفت، پس متغیر پیوسته باید در یکی از تکه‌ها دارای مقدار باشد و در دیگر تکه‌ها باید متغیر پیوسته دارای مقدار صفر باشد. به علاوه، متغیر باینری تعریف شده نیز فقط در آن تکه دارای مقدار ۱ بوده و در دیگر تکه‌ها مقدار آن باید صفر باشد. بنابراین، مجموع متغیرهای باینری در نظر گرفته شده برای خطی‌سازی مجذور توان تولیدی هر مالک باید برابر با ۱ باشد.
شکل ‏۲-۲ نحوه تقریب تابع درجه دو مجموع توان تولیدی واحدهای هر مالک
بنابراین مسأله ECB، به فرم MILP به شکل زیر خواهد بود.

‏۲‑۱۲

‏۲‑۱۳

‏۲‑۱۴

‏۲‑۱۵

‏۲‑۱۶