و با بهره گرفتن از تعریف (۳-۲۷)، داریم
۳-۶-۲: قضیه
تابع φ را به­ صورت زیر تعریف می­کنیم
که پارامتر هوموتوپی است. فرض کنید یک عملگر خطی کمکی، یک عملگر غیر خطی، یک تقریب اولیه ،و جواب دقیق، یک پارامتر کنترل همگرایی مستقل از ، و یک تابع کمکی مستقل از باشد. معادله تغییر شکل یافته مرتبه صفر به­وسیله رابطه زیر تعریف شده است

معادله تغییر شکل یافته مرتبه ام (۲۴-۳) به­ صورت زیر است
که در آن عملگری است که در (۳-۲۴) تعریف شده است و  در (۳-۲۷) تعریف شده است.
اثبات
با بهره گرفتن از قضیه (-۵-۳۸)،
و بنا بر لم (۱-۶-۳)،
با توجه به قضایای (۳-۵-۳) و (۳-۵-۴) داریم
:۳-۶-۳قضیه
فرض کنیدکه پارامتر هوموتوپی است و با فرض این­که یک عملگر خطی کمکی­، یک عملگر غیر خطی، یک تقریب اولیه ، جواب دقیق، یک پارامتر کنترل همگرایی مستقل از ،و یک تابع کمکی مستقل از باشد. معادله تغییر شکل یافته مرتبه صفر به­وسیله رابطه زیر تعریف شده است
معادله تغییر شکل یافته مرتبه ام (۲۴-۳) به­ صورت زیر است
که در آن عملگری است که در (۲۴-۳) تعریف شده است و  در (۲۷-۳) تعریف شده است.
اثبات
با بهره گرفتن از قضیه (-۵-۳۸) ، داریم
و بنا بر لم (۱-۶-۳)،
با توجه به قضایای (۳-۵-۳) و (۳-۵۴-) داریم
چون ، نتیجه می­گیریم
با جای­گذاری (۳-۳۶) و (۳-۳۷) در (۳-۳۴) اثبات تمام است.∎
:۴-۶-۳نکته
اگر در معادله تغییر شکل یافته مرتبه صفرم که در (۳۳-۳) تعریف شد، قرار ­دهیم برای هر، معادله تغییر شکل یافته مرتبه صفرکه در (۳-۸۲) تعریف کردیم به­دست می ­آید.

:۵-۶-۳قضیه
فرض کنیدکه پارامتر هوموتوپی است. یا صفر است یا تابعی ناصفر است. اما حداقل به­ازای یکی از آن­ها برابر صفر است. فرض کنید یک عملگر خطی کمکی، یک عملگر غیر خطی، و یک تقریب اولیه و جواب دقیق باشد. معادله تغییر شکل یافته مرتبه صفر به­وسیله رابطه زیر تعریف شده است
معادله تغییر شکل یافته مرتبه ام به­ صورت زیر است
که در آن عملگری است که در (۳-۴۲) تعریف شده است و  در (۳-۷۲) تعریف شده است.
اثبات
با بهره گرفتن از قضیه (۸-۵-۳) ،
و بنا بر لم (۳-۶-۱) ، داریم
با توجه به قضایای (۳-۵-۳) و (۵-۳-۴)،
چون نتیجه می­گیریم
با جای­گذاری (۳-۴۲) و (۴۳-۳) در (۳-۳۹) اثبات تمام است.∎
۶-۶-۳:نکته
اگر در معادله تغییر شکل یافته مرتبه صفرم که در (۳-۳۳) تعریف شد، قرار ­دهیم برای هر ، معادله تغییر شکل یافته مرتبه صفرکه در (۳۳۸-) تعریف کردیم به­دست می ­آید.
۷-۶-۳: قضیه
فرض کنید ،که در آن پارامتر هوموتوپی است. یا صفر است یا تابعی ناصفر، اما حداقل به­ازای یکی از آن­ها برابر صفر است. فرض کنید یک عملگر خطی کمکی، یک عملگر غیر خطی، یک تقریب اولیه، و جواب دقیق باشد. گذشته از این فرض کنید تابعی از ، وباشد، که برای وداریم.
برای معادله تغییر شکل یافته مرتبه صفر که به­وسیله رابطه زیر تعریف شده است، داریم
معادله تغییر شکل یافته مرتبه ام به­ صورت زیر است
که در آن عملگری است که در (۳-۲۴) و  در (۳-۲۷)، تعریف شده اند.
اثبات
با بهره گرفتن از قضیه (-۵-۳۸) ،
و بنا بر لم (۳-۶-۱) ،
با توجه به قضایای (۳-۵-۳) و (۳-۵-۴) ،داریم
چون نتیجه می­گیریم